首段结论：3 阶矩阵的伴随矩阵，本质是全部代数余子式构成矩阵之后再转置，记作 A，核心口诀是先求余子式，再算代数余子式，最后转置，是线性代数求逆矩阵的常用中间步骤，公式 A⁻¹ = A/|A|。
一、基础定义
设三阶矩阵
A =
| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
- 余子式 Mᵢⱼ：划掉第 i 行第 j 列，剩下 2 阶行列式的值
- 代数余子式 Aᵢⱼ = (-1)^(i+j)・Mᵢⱼ
符号规律：i+j 为偶数，正号；i+j 为奇数，负号
- 伴随矩阵 A* = 代数余子式矩阵的转置 也就是： A* = | A11 A21 A31 | | A12 A22 A32 | | A13 A23 A33 | ⚠️ 重点易错点：不是直接把代数余子式按原顺序摆放，一定要转置！
二、完整计算步骤
第一步：依次求出 9 个代数余子式 A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33
第二步：把代数余子式按行排成矩阵，得到代数余子式矩阵
第三步：对这个矩阵做转置，行变成列，得到最终伴随矩阵 A
三、例题演示
举例子矩阵
A =
| 1 2 3 |
| 0 1 4 |
| 5 6 0 |
计算代数余子式
A11 = (+) |1 4;6 0| = 1×0 - 4×6 = -24
A12 = (-) |0 4;5 0| = -(0×0 -4×5)=20
A13 = (+) |0 1;5 6| =0×6 -1×5 = -5
A21 = (-) |2 3;6 0| = -(2×0 -3×6)=18
A22 = (+) |1 3;5 0| =1×0 -3×5 = -15
A23 = (-) |1 2;5 6| = -(1×6 -2×5)=4
A31 = (+) |2 3;1 4| =2×4 -3×1 =5
A32 = (-) |1 3;0 4| = -(1×4 -3×0)= -4
A33 = (+) |1 2;0 1| =1×1 -2×0 =1
代数余子式矩阵
| -24 20 -5 |
| 18 -15 4 |
| 5 -4 1 |
转置之后得到伴随矩阵 A
| -24 18 5 |
| 20 -15 -4 |
| -5 4 1 |
四、重要性质
A・A = A・A = |A| E
E 是单位矩阵，这个性质可以用来验算计算结果是否正确
FAQ
问题 1 求 3x3 矩阵伴随矩阵忘记转置会怎么样
回答 1 忘记转置得到的是代数余子式矩阵，不是伴随矩阵，这是三阶伴随矩阵最常见错误，伴随矩阵必须对代数余子式矩阵转置。
问题 2 如果 3x3 矩阵行列式等于 0，还能求伴随矩阵吗
回答 2 可以求伴随矩阵，行列式等于 0 只是说明矩阵不可逆，但是伴随矩阵仍然可以按照代数余子式转置的方法正常计算。
问题 3 3x3 矩阵伴随矩阵和逆矩阵是什么关系
回答 3 当矩阵可逆也就是行列式不为 0 的时候，逆矩阵等于伴随矩阵除以行列式，也就是 A⁻¹ = A/|A|。
免责声明：本文为线性代数解题教学参考，考试答题请按照教材规范书写行列式与矩阵符号。