【特征多项式】在数学中，尤其是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念。它用于描述矩阵的某些关键性质，如特征值、行列式和迹等。通过分析特征多项式，我们可以深入理解矩阵的行为及其在变换中的作用。
一、特征多项式的定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其特征多项式定义为：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中，$ \lambda $ 是一个标量变量，$ I $ 是单位矩阵。这个多项式的根即为矩阵 $ A $ 的特征值，而该多项式的次数为 $ n $，即矩阵的阶数。
二、特征多项式的性质
| 属性 | 描述 |
| 多项式形式 | $ p(\lambda) = (-1)^n (\lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0) $ |
| 特征值 | 方程 $ p(\lambda) = 0 $ 的解，即 $ \lambda $ 满足 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ |
| 行列式 | $ \det(A) = (-1)^n a_0 $ |
| 迹 | $ \text{tr}(A) = -a_{n-1} $ |
| 可逆性 | 若 $ \det(A) \neq 0 $，则矩阵可逆；若 $ \det(A) = 0 $，则存在零特征值 |
三、特征多项式的计算方法
计算特征多项式的基本步骤如下：
1. 构造矩阵 $ A - \lambda I $：将原矩阵 $ A $ 的对角线元素减去 $ \lambda $。
2. 计算行列式：对新矩阵 $ A - \lambda I $ 计算行列式，得到关于 $ \lambda $ 的多项式。
3. 整理多项式：将结果按降幂排列，形成标准的多项式表达式。
四、示例
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则其特征多项式为：
$$
p(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展开后得：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
其特征值为 $ \lambda = 2 $ 和 $ \lambda = 3 $，与矩阵的对角线元素一致。
五、总结
特征多项式是研究矩阵性质的重要工具，能够揭示矩阵的特征值、行列式、迹等关键信息。通过对特征多项式的分析，可以更深入地理解矩阵在空间变换中的行为。无论是在理论研究还是实际应用中，特征多项式都具有不可替代的作用。
表：特征多项式关键属性一览
| 属性 | 表达式/值 | 说明 |
| 定义 | $ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) $ | 矩阵 $ A $ 的特征多项式 |
| 根（特征值） | $ \lambda_i $ | 满足 $ p(\lambda_i) = 0 $ 的值 |
| 行列式 | $ \det(A) = (-1)^n a_0 $ | 与常数项相关 |
| 迹 | $ \text{tr}(A) = -a_{n-1} $ | 与一次项系数相关 |
| 可逆性 | $ \det(A) \neq 0 $ | 若为零，则不可逆 |
通过理解特征多项式的结构与性质，我们可以在矩阵分析、微分方程、量子力学等多个领域中灵活运用这一工具。