【等比数列前n项和公式等比数列前n项和公式Sn】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值恒定。这个固定的比值称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。对于一个等比数列，我们常常需要计算其前 $ n $ 项的和，这就是“等比数列前n项和公式”的核心内容。
一、等比数列前n项和公式
设等比数列为：
$$ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $$
其中首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $（$ q \neq 1 $），则其前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的公式如下：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
如果 $ q = 1 $，即所有项都相等，则前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
二、公式推导简要说明
该公式的推导基于等比数列的性质。我们可以使用“错位相减法”来推导：
设：
$$
S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}
$$
两边同时乘以 $ q $ 得到：
$$
qS_n = a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^n
$$
将两式相减：
$$
S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n
$$
$$
S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)
$$
因此：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
三、常见情况总结表
| 公比 $ q $ | 公式表达式 | 适用条件 |
| $ q \neq 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | 适用于任意非1的公比 |
| $ q = 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 当所有项相等时使用 |
四、举例说明
例1：
已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求前5项和。
解：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
例2：
若公比 $ q = 1 $，首项 $ a_1 = 5 $，求前10项和。
解：
$$
S_{10} = 5 \cdot 10 = 50
$$
五、总结
等比数列前n项和公式是解决等比数列求和问题的重要工具。根据公比的不同，公式也有所区别。掌握这一公式不仅有助于数学学习，也在实际问题中（如金融、物理等领域）有广泛应用。
通过理解公式的来源和适用范围，可以更灵活地运用它来解决各类相关问题。